浅谈差分约束

差分约束

什么是差分约束？

是一种特殊的$n$元一次不等式组，它包含$n$个变量$x_1,x_2,...,x_n$以及$m$个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的。

形如$x_i - x_j \le c_k$,其中 $1 \le i,j \le n, i \ne j,1 \le k \le m$并且$c_k$是常数（可正可负）。

约束条件可以变形

$$x_i - x_j \le c_k \Leftrightarrow x_i \le x_j + c_k$$

这就很像图论中的求最短路不等式

$$dist[y] \le dist[x] + z$$

因此，我们可以把每个变量$x_i$看做图中的一个结点，对于每个约束条件$x_i - x_j \le c_k$，看作从结点$j$向结点$i$连一条长度为$c_k$的有向边。

如果$\lbrace a_1,a_2,...,a_n\rbrace$是该差分约束系统的一组解，那么对于任意常数$d$,$\lbrace a_1 + d,a_2 + d,...,a_n + d \rbrace$显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后$d$会被消掉。

设$dist[0] = 0$并向每一个点连一条权重为0的边，跑单源最短路，若途中存在负环，则给定的差分约束系统无解，否则，$x_i = dist[i]$为该差分约束系统的一组解。

差分约束最难的地方在于找不等关系

有什么用？怎么用？

一、求不等式组的可行解

源点需要满足的条件：从源点出发，一定可以走到所有的边

求一组解$x_1 = a_1,x_2 = a_2, \ldots,x_n = a_n$,使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。
步骤：

1. 先将每个不等式$x_i \le x_j + c_k$，转换成一条从$x_j$走到$x_i$，长度为$c_k$的边。
2. 找到一个超级源点，使得该源点一定可以走到所以边
3. 从源点求一遍单源最短路

**结果1：**如果存在负环，则原不等式组一定无解
**结果2：**如果没有负环,则$dist[i]$就是原不等式组的一个可行解

二、如何求最大值或者最小值，这里的最值指的是每个变量的最值

**结论：**如果求的是最小值,则应该求最长路；如果求的是最大值,则应该求最短路
**问题1：**如何转换$x_i \le c$，其中$c$是一个常数，此类的不等式
方法：建立一个超级源点0，然后建立0 -> i的边，长度是c的边即可
以求$x_i$的最大值为例：
所有从$x_i$出发，构成的不等式链

$$x_i \le x_j + c_1 \le x_k + c_2 + c_1 \le ... \le x_0 + c_1 + c_2 + ... + c_m (x_0 = 0)$$

所计算出的上界，最终$x_i$的最大值等于所有上界的最小值。

如这个例子中，$x_1$的最大值为5

转换为图论问题，就是求$dist[i]$的最小值，即最短路求解

求$x_i$的最小值时则相反，通过不等式链计算出下界，最终在所有下界中取最大值
转换为图论问题就是求$dist[i]$得最大值，即最长路求解

参考文献：
OI Wiki差分约束