泰勒公式

泰勒公式的本质是近似

常用泰勒公式

$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^n +o(x^n),-1 \lt x \lt 1$

$\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+x^4+...+(-1)^nx^n +o(x^n),-1 \lt x \lt 1$

$ln(1+x)=x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o(x^n),-1 \lt x \le 1$

$e^x=1+x+ \frac{x^{2}{2!}+\frac{x}3}{3!}+…+\frac{x^n}{n!}+o(xn), -\infty \lt x \lt +\infty $

$\sin x=x-\frac{x^{3}{3!}+\frac{x}5}{5!}+…+(-1)^n\frac{x{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1}),-\infty \lt x \lt +\infty $

$\cos x = 1-\frac{x^{2}{2!}+\frac{x}4}{4!}+…+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty \lt x \lt +\infty $

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$(1+x)^ \alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3+o(x^3)$

泰勒公式Taylor Formula

如果$f(x_0)$在$n$阶可导，则有

$f(x_0)=f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]$

麦克劳林级数Maclaurin’s series

当$x_0$为0时：

$f(x_0)=f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}x+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}x^n+o(x^n)$

使用

什么时候用泰勒公式？

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